Nomenclature

b_1,2 : Face width of 1st and 2nd gear pair (mm) (치폭)

B_n : Normal backlash (mm) (치직각 백래시)

C_1,2 : Center distance of 1st and 2nd gear pair (mm) (중심거리)

d_a1,2 : Tip diameter of pinion and gear (mm) (이끝원 직경)

d_b1,2 : Base diameter of pinion and gear (mm) (기초원 직경)

d_ap1,2 : Tip diameter of 1st and 2nd pinion (mm) (이끝원 직경)

d₁ : Reference diameter of pinion (mm) (피니언 피치원 직경)

f_b : Face width ratio (\(f_{b}=\frac{b}{m_{\mathrm{n}}}\)) (치폭비)

F_t : Nominal tangential load (N) (접선력)

g_a : Length of addendum path of contact (mm) (이끝 물림 길이)

h_fp : Dedendum of the standard basic rack tooth profile (표준 직선치형의 이뿌리높이)

K_A : Application factor (적용 계수)

K_V : Dynamic factor (동적 계수)

K_Hα : Transverse load factor for contact stress (정면 방향 하중 분할 계수)

K_Hβ : Face load factor for contact stress (치폭 방향 하중 분할 계수)

K_Fα : Transverse load factor for tooth root stress (정면 방향 하중 분할 계수)

K_Fβ : Face load factor for tooth root stress (치폭 방향 하중 분할 계수)

m_n : Normal module (mm) (치직각 모듈)

m_t : Transverse module (mm) (축직각 모듈)

n₁ : The number of revolution of pinion (rpm) (피니언 회전수)

P : Power (W) (일률)

r_a : Tip radius (mm) (이끝원 반경)

r_b : Base radius (mm) (기초원 반경)

S_Hmin : Minimum safety factor for contact (최소 접촉 안전율)

S_Fmin :  Minimum safety factor for bending (최소 굽힘 안전율)

u : Gear ratio (기어비)

V : Linear velocity on pitch circle (m/s) (피치원 상에서의 선속도)

x_min : Minimum profile shift coefficient (최소 전위계수)

x_1,2 : Profile shift coefficient of pinion and gear (전위계수)

Y_F : Form factor (형상 계수)

Y_S : Stress correction factor (응력 교정 계수)

Y_β : Helix angle factor (헬릭스각 계수)

Y_B : Rim thickness factor (림두께 계수)

Y_ST : Stress correction factor relevant to the reference gear (응력 교정 계수)

Y_NT : Life factor relevant to the reference gear (수명 계수)

Y_δrelT : Relative notch sensitivity factor (노치 계수)

Y_RrelT : Relative surface factor (포면 계수)

Y_X : Size factor (사이즈 계수)

Z_H : Zone factor (곡률 계수)

Z_E : Elasticity factor (재료 계수)

Z_ε : Contact ratio factor (물림률 계수)

Z_β : Helix angle factor (헬릭스각 계수)

Z_B,D : Single pair tooth contact factor (접촉 계수)

Z_NT : Life factor (수명 계수)

Z_L : Lubricant factor (윤활 계수)

Z_V : Velocity factor (속도 계수)

Z_R : Roughness factor (표면 조도 계수)

Z_W : Work hardening factor (표면 경화 계수)

Z_X : Size factor (사이즈 계수)

α_n : Normal pressure angle (deg.) (치직각 압력각)

αt_1,2 : Transverse pressure angle of 1st and 2nd gear pair (deg.) (축직각 압력각)

α_wt1,2 : Working transverse pressure angle of 1st and 2nd gear pair (deg.) (물림 축직각 압력각)

β_1,2 : Helix angle of 1st and 2nd gear pair (deg.) (헬릭스각)

ε_α : Transverse contact ratio (정면 물림률)

ε_β : Overlap ratio (중첩 물림률)

σ_H0 : Nominal contact stress (Mpa) (공칭 접촉 응력)

σ_H : Contact stress (Mpa) (접촉 응력)

σ_HG : Pitting stress limit (Mpa) (한계 접촉 응력)

σ_Hlim : Allowable stress number for contact (Mpa) (허용 접촉 응력 상수)

σ_HP : Permissible contact stress (Mpa) (허용 접촉 응력)

σ_F0 : Nominal tooth root stress (Mpa) (공칭 굽힘 응력)

σ_F : Tooth root stress (MPa) (굽힘 응력)

σ_FG : Tooth root stress limit (Mpa) (한계 굽힘 응력)

σ_Flim : Linear velocity (m/s) (선속도)

σ_FP : Permissible bending stress (Mpa) (허용 굽힘 응력)

σ_FE : Allowable stress number for bending (Mpa) (허용 굽힘 응력 상수)

1. 서론

최근 자동차 산업은 내연기관에서 전기 구동 방식으로 기술이 변화하고 있고, 전기자동차의 연비 향상을 위해 2속 이상의 다단 변속기에 관한 연구가 활발히 진행되고 있다[1]. 기존 다단 변속기에 관한 연구는 연비 향상을 위한 최적의 기어비 설정과 변속 제어에 관한 연구가 주로 이루어지고 있다[2].

하지만 전기자동차의 연비 향상을 위해서는 변속 제어 성능뿐만 아니라, 변속기의 동력 밀도를 향상하는 것도 중요한 요소이다[3]. 동력 밀도는 부피 대비 전달 동력을 나타내는 양으로, 동력 밀도의 향상을 위해서는 변속기 내부의 기어 열에 대한 최적 설계가 필요하다. 기어 열의 최적 설계에 대한 연구는 다양한 연구자들에 의해 이루어져 왔다.

하지만 전기자동차의 연비 향상을 위해서는 변속 제어 성능뿐만 아니라, 변속기의 동력 밀도를 향상하는 것도 중요한 요소이다[3]. 동력 밀도는 부피 대비 전달 동력을 나타내는 양으로, 동력 밀도의 향상을 위해서는 변속기 내부의 기어 열에 대한 최적 설계가 필요하다. 기어 열의 최적 설계에 대한 연구는 다양한 연구자들에 의해 이루어져 왔다.

Hofstetter[4] 등은진화격자알고리즘(Differential evolution algorithm)을 적용하여 전기자동차용 액슬 기어의 다목적 최적 설계를 수행하였다. Lee[5] 등은 유전알고리즘(NSGA-3)을 적용하여 기어 매크로 치형 다목적 최적 설계와 목적함수 구성이 최적 설계 결과에 미치는 영향을 확인하였다. Javad[6] 등은 기어박스 경량 설계를 위한 일반화된 목적함수와 구속조건의 형태를 제시하였고, 이를 다단 기어박스에 적용하여 검증하였다. Deb[7] 등은 유전알고리즘(NSGA-2)을 적용하여 다단 변속기의 다목적 최적 설계를 수행하였다. 하지만 해당 연구는 변속기의 단일 작동조건만을 고려하다. Kwon[8] 등은 기존 연구와 달리 직접탐색법을 통한 유성기어의 다목적 최적 설계를 수행하였다.

기존 연구자들은 진화 알고리즘, 유전 알고리즘과 같은 최적화 기법을 적용하여 기어박스의 다목적 최적 설계에 대한 다양한 연구를 진행해왔다. 하지만 복수의 작동조건 및 구속조건을 가지는 전기자동차용 다단 변속기의 최적 설계에 대한 연구는 찾아보기 어렵다.

따라서, 본 연구는 실제 전기자동차의 작동조건을 고려하여 2속 변속기의 경량 최적 설계를 수행하였다. 직접탐색법을 통해 최적 설계를 수행하였고, 기어 설계 규격인 ISO 6336:2006[9] 및 기어 해석 소프트웨어 MASTA를 통해 설계 결과를 검증하였다.

2. 이론적 배경

2-1. 전기자동차용 2속 변속기

본 연구는 전기자동차용 2속 변속기를 대상으로 하였으며, 구동 모터의 작동조건에 따라 1단 또는 2단 기어를 통해 동력이 전달되어, 종감속 기어를 통해 최종 감속이 이루어지는 구조다. 샤프트 및 베어링은 모델에 포함되지 않았으며, 잇수, 헬릭스각, 압력각, 치폭과 같은 기어의 매크로 치형을 설계변수로 고려하였다.

Fig. 1. Two-speed transmission for electric vehicle

2-1-1. 전기자동차용 2속 변속기의 특징

전기자동차용 2속 변속기는 일반적인 산업용 감속기와는 다른 특징이 존재한다. 산업용 감속기는 주로 고정된 속도비와 작동조건에서 구동되지만, 전기자동차용 2속 변속기는 차량의 변속기로 사용되기 때문에, 다음과 같은 특징을 지닌다.

(1) 1단 기어(1st gear)와 2단 기어(2nd gear)는 서로 다른 작동조건에서 구동된다.

(2) 종감속 기어(Final drive gear)는 1단 작동조건 및 2단 작동조건 모두에서 구동된다.

(3) 1단 기어와 2단 기어의 중심 거리는 동일해야 한다.

따라서, 1단 및 2단 작동조건 모두를 고려해서 기어 설계를 진행해야 하며, 1단 기어와 2단 기어의 중심 거리를 일치시키기 위해 기어 매크로 치형 간의 관계식을 고려하여 설계를 진행해야 한다.

2-2. 기어 설계 인자

2-2-1. 기어 강도

국제 기어 설계 규격에는 AGMA와 ISO 규격이 있으며, 본 연구는 ISO 6336:2006[9]을 통해 기어 강도를 평가하였다.

접촉 강도는 기어 표면의 피팅(Pitting) 발생 여부를 판단할 수 있도록 정의된 부하 용량이다. 식 (1)을 통해 공칭 접촉 응력(Nominal contact stress) \(\sigma_{\mathrm{H} 0}\)가 계산되며, 식 (2)를 통해 접촉 응력(Contact stress) \(\sigma_{\mathrm{H}}\)가 계산된다. 식 (3)을 통해 재료의 접촉 내구 한도를 고려한 한계 접촉 응력(Pitting stress limit) \(\sigma_{\mathrm{HG}}\)가 계산되고, 최종적으로 식 (4)를 통해 최소 접촉 안전율을 고려한 허용 접촉응력(Permissible contact stress) \(\sigma_{\mathrm{HP}}\)가 계산된다.

\(\sigma_{\mathrm{H} 0}=\mathrm{Z}_{\mathrm{H}} \mathrm{Z}_{\mathrm{E}} \mathrm{Z}_{\varepsilon} \mathrm{Z}_{\beta} \sqrt{\frac{F_{1}}{d_{1} b} \frac{u+1}{u}}\)       (1)

\(\sigma_{\mathrm{H}}=\sigma_{\mathrm{H} 0} \mathrm{Z}_{\mathrm{B}, \mathrm{D}} \sqrt{K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{V}} K_{\mathrm{H} \beta} K_{\mathrm{H} \alpha}}\)       (2)

\(\sigma_{\mathrm{HG}}=\sigma_{\mathrm{H}_{\mathrm{lim}}} \mathrm{Z}_{\mathrm{NT}} \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \mathrm{Z}_{\mathrm{R}} \mathrm{Z}_{\mathrm{W}} \mathrm{Z}_{\mathrm{X}}\)       (3)

\(\sigma_{\mathrm{HP}}=\frac{\sigma_{\mathrm{HG}}}{S_{\mathrm{H}_{\min }}}\)       (4)

굽힙 강도는 기어 뿌리의 굽힘 파괴 발생 여부를 판단할 수 있도록 정의된 부하 용량이다. 식 (5)을 통해 공칭 굽힘 응력(Nominal tooth root stress) σ_F0가 계산되며, 식 (6)를 통해 굽힘 응력(Tooth roost stress) σ_F가 계산된다. 식 (7)을 통해 재료의 굽힘 내구 한도를 고려한 한계 굽힘 응력(Tooth root stress limit) σ_FG가 계산되고, 최종적으로 식 (8)를 통해 최소 굽힘 안전율을 고려한 허용 굽힘 응력(Permissible bending stress)σ_FP가 계산된다.

\(\sigma_{\mathrm{F} 0}=\frac{F_{\mathrm{t}}}{b m_{\mathrm{n}}} Y_{\mathrm{F}} Y_{\mathrm{s}} Y_{\beta} Y_{\mathrm{B}} Y_{\mathrm{DT}} \)       (5)

\(\sigma_{F}=\sigma_{\mathrm{F} 0} K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{v}} K_{\mathrm{F} \beta} K_{\mathrm{F} \alpha}\)       (6)

\(\sigma_{\mathrm{FG}}=\sigma_{\mathrm{Flim}} Y_{\mathrm{ST}} Y_{\mathrm{NT}} Y_{\delta \mathrm{relT}} Y_{\mathrm{RrelT}} Y_{\mathrm{X}}\)       (7)

\(\sigma_{\mathrm{FP}}=\frac{\sigma_{\mathrm{FG}}}{S_{\mathrm{F}_{\mathrm{min}}}} \)       (8)

2-2-2. 치폭비

치폭비(Face width ratio)는 기어의 치폭을 치직각 모듈로 나눈 값이다. 기어 치면의 하중을 균일하게 분포하기 위해서는 기어의 모듈에 비례하여 적정한 크기의 치폭이 형성되어야 한다. 치폭비는 아래 식 (9)과 같다.

\(f_{b}=\frac{b}{m_{\mathrm{n}}}\)       (9)

2-2-3. 모듈 및 치폭비 계산

ISO 6336:2006[9]에 규정되어 있는 접촉 응력과 굽힘응력 식을 통해 최소 안전율을 만족하는 모듈 및 치폭비를 계산한다. 모듈과 치폭비 중 하나의 값이 결정되면 다른 하나의 값을 계산할 수 있다.

(1) 접촉 모듈 및 치폭비 계산식 (1)과 (2)를 정리하면, 접촉 응력은 아래 식 (10)과 같이 계산할 수 있다.

\(\begin{aligned} \sigma_{\mathrm{H}} &=\sigma_{\mathrm{H} 0} Z_{\mathrm{B}, \mathrm{D}} \sqrt{K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{V}} K_{\mathrm{H} \beta} K_{\mathrm{H} \alpha}} \\ &=\mathrm{Z}_{\mathrm{H}} Z_{\mathrm{E}} Z_{\varepsilon} \mathrm{Z}_{\beta} Z_{\mathrm{B}, \mathrm{D}} \sqrt{K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{V}} K_{\mathrm{H} \beta} K_{\mathrm{H} \alpha}} \sqrt{\frac{F_{\mathrm{t}}}{d_{1} b} \frac{u+1}{u}} \\ H^{\prime} &=\mathrm{Z}_{\mathrm{H}} \mathrm{Z}_{\mathrm{E}} \mathrm{Z}_{\varepsilon} \mathrm{Z}_{\beta} \mathrm{Z}_{\mathrm{B}, \mathrm{D}} \sqrt{K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{V}} K_{\mathrm{H} \beta} K_{\mathrm{H} \alpha}} \\ F_{\mathrm{t}} &=\frac{P}{V}=P\left(\frac{6 \cdot 10^{4}}{\pi d_{1} n_{1}}\right)=\frac{\left(6 \cdot 10^{4}\right) P \cos \beta}{\pi n_{1} z_{1} m_{\mathrm{n}}} \end{aligned}\)       (10)

그리고 접촉 응력이 허용 접촉 응력과 같아지도록 모듈 또는 치폭비를 계산한다.

\(\sigma_{\mathrm{H}}=\sigma_{\mathrm{HP}}=\frac{\sigma_{\mathrm{HG}}}{S_{\mathrm{H}_{\min }}}\)       (11)

\(m_{\mathrm{n}}(\mathrm{contact})=\sqrt[3]{\left(\frac{S_{\mathrm{H}_{\min }} H^{\prime}}{\sigma_{\mathrm{HG}}}\right)^{2}\left(\frac{u+1}{u}\right) \frac{\left(6 \cdot 10^{4}\right) P \cos ^{2} \beta}{\pi n_{1} z_{1}^{2} f_{b}}}\)      (12)

\(f_{b}(\text { contact })=\left(\frac{S_{\mathrm{H}_{\min }} H^{\prime}}{\sigma_{\mathrm{HG}}}\right)^{2}\left(\frac{u+1}{u}\right) \frac{\left(6 \cdot 10^{4}\right) P \cos ^{2} \beta}{\pi n_{1} z_{1}^{2} m_{\mathrm{n}}^{3}}\)       (13)

(2) 굽힘 모듈 및 치폭비 계산

식 (5)와 (6)를 정리하면, 굽힘 응력은 아래 식 (14)와 같이 계산할 수 있다.

\(\begin{aligned} \sigma_{\mathrm{F}} &=\sigma_{\mathrm{F} 0} K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{V}} K_{\mathrm{F} \beta} K_{\mathrm{F} \alpha} \\ &=Y_{\mathrm{F}} Y_{\mathrm{S}} Y_{\beta} Y_{\mathrm{B}} Y_{\mathrm{DT}} K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{V}} K_{\mathrm{F} \beta} K_{\mathrm{F} \alpha}\left(\frac{F_{\mathrm{t}}}{f_{b} m_{\mathrm{n}}^{2}}\right) \\ F^{\prime} &=Y_{\mathrm{F}} Y_{\mathrm{S}} Y_{\beta} Y_{\mathrm{B}} Y_{\mathrm{DT}} K_{\mathrm{A}} K_{\mathrm{V}} K_{\mathrm{F} \beta} K_{\mathrm{F} \alpha} \\ F_{\mathrm{t}} &=\frac{P}{V}=P\left(\frac{6 \cdot 10^{4}}{\pi d_{1} n_{1}}\right)=\frac{\left(6 \cdot 10^{4}\right) P \cos \beta}{\pi n_{1} z_{1} m_{\mathrm{n}}} \end{aligned}\)       (14)

그리고 굽힘 응력이 허용 굽힘 응력과 같아지도록 모듈 또는 치폭비를 계산한다.

\(\sigma_{\mathrm{F}}=\sigma_{\mathrm{FP}}=\frac{\sigma_{\mathrm{FG}}}{S_{\mathrm{F}_{\min }}}\)       (15)

\(m_{\mathrm{n}}(\text { bending })=\sqrt[3]{\left(\frac{S_{\mathrm{F}_{\mathrm{min}}} F^{\prime}}{\sigma_{\mathrm{FG}}}\right) \frac{\left(6 \cdot 10^{4}\right) P \cos \beta}{\pi n_{1} z_{1} f_{b}}}\)       (16)

\(f_{b}(\text { bending })=\left(\frac{S_{\mathrm{Fmin}} F^{\prime}}{\sigma_{\mathrm{FG}}}\right) \frac{\left(6 \cdot 10^{4}\right) P \cos \beta}{\pi n_{1} z_{1} m_{n}^{3}}\)       (17)

최종적으로 모듈 또는 치폭비는 아래 식 (18), (19)를 통해 결정한다.

\(m_{\mathrm{n}}=\max \left[m_{\mathrm{n}}(\text { contact }), m_{\mathrm{n}}(\text { bending })\right]\)       (18)

\(f_{b}=\max \left[f_{b}(\text { contact }), f_{b}(\text { bending })\right]\)       (19) 

2-2-4. 물림률

헬리컬기어의 물림률은 정면 물림률(Transverse contactratio) ε_α 및 중첩 물림률(Overlap ratio) ε_β로 구분할 수 있다. 정면 물림률은 작용선의 길이에 대한 정면법선피치의 비율로 정의되며, 기어가 회전하는 동안 동시에 접촉하고 있는 치의 수를 나타낸다.

중첩 물림률은 치폭에 대한 축방향피치의 비율로 정의되며, 헬릭스의 비틀림 효과를 정량화하여 나타내는 값이다. 정면 물림률 및 중첩 물림률은 아래 식 (22), (23)과 같다.

\(p_{\mathrm{bt}}=m_{\mathrm{t}} \pi \cos \alpha_{\mathrm{t}}\)       (20)

\(g_{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{d_{\mathrm{al}}^{2}-d_{\mathrm{b} 1}^{2}}+\sqrt{d_{\mathrm{a} 2}^{2}-d_{\mathrm{b} 2}^{2}}\right)-\left(C \cdot \sin \alpha_{\mathrm{wt}}\right)\)       (21)

\(\varepsilon_{\alpha}=\frac{g_{\mathrm{a}}}{p_{\mathrm{bt}}}\)       (22)

\(\varepsilon_{\beta}=\frac{b \sin \beta}{\pi m_{\mathrm{n}}}\)       (23)

2-2-5. 물림압력각 및 중심거리

기어의 압력각(Pressure angle) α은 치면에 형성되는 하중이 기준선과 이루는 각도로, 기어의 기구학 및 동역학적 특성에 중요한 영향을 미치는 설계인자다. 표준기어에서는 가공하는 공구의 압력각에 의해 기어의 압력각이 결정되지만, 비표준기어에서는 물림 축직각 압력각(Working transverse pressure angle) α_wt이 공구 축직각 압력각과 달라질 수 있다.

기어의 물림 축직각 압력각 및 중심거리는 아래 식 (24), (25)와 같다.

\(\operatorname{inv}\left(\alpha_{w t}\right)=2 \tan \alpha_{n} \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\frac{1}{2 \sin \alpha_{n}} \frac{B_{n}}{m_{n}}\right)}{\left(z_{1}+z_{2}\right)}+\operatorname{inv}\left(\alpha_{1}\right)\)       (24)

\(C=\frac{\left(z_{1}+z_{2}\right) m_{\mathrm{t}}}{2}\left(\frac{\cos \alpha_{\mathrm{t}}}{\cos \alpha_{\mathrm{w}}}\right)\)       (25)

2-2-6. 언더컷 및 전위계수

언더컷(Undercut)은 기어 절삭 과정에서 과도한 절삭으로 인해 기어 이뿌리 부분이 제거되는 현상이다. 언더컷이 발생하면 이뿌리 부분이 얇아져 굽힘 강도가 약해질 수 있다.

언더컷은 주로 잇수가 작은 기어를 절삭할 때 발생하며, 절삭 과정에서 적절한 전위계수를 적용하면 방지할 수 있다. 언더컷을 방지하기 위한 최소 전위계수는 아래 식 (26)과 같다.

\(x_{\min }=h_{\mathrm{fp}}-\frac{z \sin ^{2} \alpha_{\mathrm{t}}}{2 \cos \beta}\)       (26)

2-2-7. 치간섭

치간섭(Teeth interference)은 기어의 이끝이 피니언의 이뿌리를 간섭하는 현상으로, 치간섭이 발생하면 락킹(Locking)현상으로 인해 기계가 갑작스럽게 정지할 수 있기 때문에, 설계 과정에서 방지되어야 한다.

치간섭은 주로 피니언과 기어의 잇수차가 많이 날 때 발생하며, 기어의 이끝원 반경과 한계 반경이 아래 식(27)을 만족하면 발생하지 않는다.

\(r_{\mathrm{a}}^{2} \leq r_{\mathrm{b}}^{2}+\left(C \cdot \sin \alpha_{\mathrm{wt}}\right)^{2}\)       (27)

3. 설계문제 정식화

3-1. 설계요구조건 정의

변속기의 동력 전달을 위한 설계요구조건을 아래와 같이 정의하였다.

(1) 전달 동력(Power)

(2) 입력 속도(Input velocity)

(3) 총 기어비(Total gear ratio)

(4) 치직각 백래시 (Normal backlash)

(5) 최소 안전율(Minimum safety factor)

(6) 재료물성치(Material properties)

Table 1은 각 변속단에 따른 설계요구조건의 값을 나타낸다.

Table 1. Input parameters

3-2. 설계변수 정의

변속기의 경량 설계를 위한 설계변수를 아래와 같이 정의하였다. 

(1) 잇수(Number of teeth)

(2) 헬릭스각(Helix angle)

(3) 치직각 압력각(Normal pressure angle)

(4) 치폭비(Face width ratio)

Table 2는 설계변수의 상한값 및 하한값을 나타낸다.

Table 2. Design variables and range

3-3. 목적함수 정의

자동차용 기어의 최적 설계에서 목적함수는 다양하게 정의될 수 있다. 본 연구에서는 전기 자동차에 있어서 연비에 직접적으로 영향을 주는 목적 함수로서 중량 최소화에 초점을 두어 단순하게 정의하였다. 주행 성능도 목적 함수로 고려될 수 있지만, 그런 경우에는 차량 전체의 무게와 모터성능과도 연계되기 때문에 본 논문에서는 고려하지 않았다.

이를 위해 기어열의 부피를 목적함수로 정의하고, 샤프트 및 베어링의 부피는 고려하지 않는다.

기어열의 부피는 각 기어의 이끝원과 치폭으로 이루어진 원통들의 부피로 정의하며, 아래 식 (28)과 같다.

\(F_{\mathrm{vol}}=\frac{\pi}{4} \sum_{i}\left(d_{\mathrm{u}_{\mathrm{r}}}^{2}+d_{\mathrm{a}_{n}}^{2}\right) \cdot b_{i}(i=1,2, \mathrm{FD})\)       (28)

3-4. 구속조건 정의

변속기의 동력 전달 성능 및 신뢰성을 확보하기 위한 구속조건을 아래와 같이 정의하였다. 우선 1단 기어와 2단 기어의 중심 거리에 대한 조건을 정의하였고, 기어의 강도 성능을 만족하기 위한 접촉 및 굽힘 안전율에 대한 조건과 물림률, 언더컷 방지를 위한 전위계수, 치간섭을 방지하기 위한 조건을 정의하였다.

(1) \(C_{1}=C_{2}\) : 중심거리 일치

(2)  \(S_{\mathrm{H}} \geq S_{\mathrm{H}_{\min }}\) : 최소 접촉 안전율

(3 )\(S_{\mathrm{H}} \geq S_{\mathrm{H}_{\min }}\) : 최소 굽힘 안전율

(4 )\(1 \leq \varepsilon_{\alpha} \leq 2.5\) : 정면 물림률

(5 )\(x=h_{\mathrm{fp}}-\frac{z \sin ^{2} \alpha_{t}}{2 \cos \beta}\) : 언더컷 및 전위계수

(If undercut occur, otherwise x = 0)

(6)\(r_{\mathrm{a}}^{2} \leq r_{\mathrm{b}}^{2}\) : 치간섭

3-5. 최적 설계 절차

경량화를 위한 최적 설계 방법으로는 직접탐색법을 사용했으며, 아래 Fig. 2의 순서를 따라 진행된다. 각 단계에서 일어나는 계산 과정은 다음과 같다.

Fig. 2. Flow chart of optimal design for light weight two-stage transmission for electric vehicle.

(1) 우선, 설계요구조건으로 정의된 전달 동력, 입력 속도, 총 기어비, 치직각 백래시, 재료물성치가 입력된다.

(2) 총 기어비를 만족시키는 1단, 2단, 종감속단 의 잇수 조합을 생성한다.

(3) 상한값과 하한값을 고려하여 헬릭스각, 치직각 압력각, 치폭비의 조합을 생성한다.

(4) 언더컷 발생여부를 확인하여 전위계수를 계산한다.

(5) 물림방정식을 이용하여 기어의 물림압력각을 계산한다.

(6) 물림률을 계산하여 주어진 구속조건의 만족여부를확인한다.

(7) 본 단계에서는 기어의 매크로 치형을 계산하며, 1단 및 종감속단의 치형을 계산한 후에 2단의 치형을 계산한다. 자세한 과정은 아래와 같다.

(7-1) (1)에서 입력된 설계요구조건을 고려하여 1단 기어의 모듈을 계산한다. 이때 아래 식 (29)을 통해 모듈을 계산한다.

\(m_{\mathrm{n} 1}=\max \left[m_{\mathrm{n}}(\text { contact }), m_{\mathrm{n}}(\text { bending })\right]\)       (29)

(7-2) 종감속 기어는 1단 및 2단, 2가지 작동조건에서 구동되므로 아래 식 (30)을 통해 각각의 작동조건을 고려한 모듈을 계산한 다음, 최대값을 모듈로 선택한다.

\(\begin{array}{l} m_{\mathrm{nFD} 1}=\max \left[m_{\mathrm{n}}(\mathrm{contact}), m_{\mathrm{n}}(\text { bending })\right] \\ m_{\mathrm{nFD} 2}=\max \left[m_{\mathrm{n}}(\mathrm{contact}), m_{\mathrm{n}}(\text { bending })\right] \\ m_{\mathrm{nFD}}=\max \left[m_{\mathrm{nFDl}}, m_{\mathrm{nFD} 2}\right] \end{array}\)       (30)

(7-3) 1단 기어와 2단 기어의 중심 거리를 동일하게 설정하기 위해 아래 식 (31)을 통해 2단 기어의 모듈을 계산한다.

\(\begin{array}{l} C_{1}=\frac{\left(z_{\mathrm{p} 1}+z_{\mathrm{g} 1}\right) m_{\mathrm{t} 1}}{2}\left(\frac{\cos \alpha_{\mathrm{t} 1}}{\cos \alpha_{\mathrm{wt} 1}}\right) \\ m_{\mathrm{n} 2}=\frac{2 C_{1} \cos \beta_{2}}{\left(z_{\mathrm{p} 2}+z_{\mathrm{g} 2}\right)}\left(\frac{\cos \alpha_{\mathrm{w} 12}}{\cos \alpha_{\mathrm{t} 2}}\right) \end{array}\)       (31)

(7-4) 여기서 계산된 2단 기어의 모듈은 안전율을 고려하지 않았기 때문에, 주어진 최소 안전율을 만족시킬 수 없다. 따라서 아래 식 (32)를 통해 최소 안전율을 만족시키는 치폭비를 계산한다. 

\(f_{b 2}=\max \left[f_{b}(\text { contact }), f_{b}(\text { bending })\right]\)       (32)

미리 계산된 모듈과 치폭비를 통해 피치원 직경, 이끝원 직경을 계산한다.

(8) 식 (27)을 통해 치간섭 여부를 확인한다.

(9) 마지막으로, 계산된 매크로 치형을 통해 기어열의 부피를 구하고, 정해진 반복 횟수를 만족할 때까지 계산을 진행한다.

4. 설계 적용 및 결과

4-1. 기존 2속 변속기 모델 분석

기존 2속 변속기 모델의 기어 제원은 Table 3과 같으며, Table 4는 강도 및 성능 지표를 나타낸다.

Table 3. Dimensional specifications of the original model

Table 4. Strength and performance of the original model

기존 모델은 접촉 및 강도 조건을 만족하고 있으며, 2단 기어가 1단과 종감속 기어에 비해 높은 안전율로 설계된 것을 알 수 있다. 따라서 2단 기어의 안전율을 완화하면 경량 설계가 가능할 것으로 예측할 수 있다.

4-2. 경량 최적 설계 적용 모델 분석

3.5절의 최적 설계 절차를 따라 설계를 수행하였으며, 최적 설계된 모델의 기어 제원을 Table 5에나타냈다. Table 6는 강도 및 성능 지표를 나타낸다. 설계 결과를 살펴보면 체적은 3,728,486mm³로 기존 모델의 4,178,136mm³보다 10.76% 감소한 것으로 나타났다.

Table 5. Dimensional specifications of optimal model considering volume

Table 5의 기어 제원을 살펴보면, 1, 2단의 기어비는 감소하고, 종감속단은 증가, 잇수는 전체적으로 감소한 것을 알 수 있다. 또한, 헬릭스각 및 치직각 압력각이 달라졌고, 치폭비가 기존 모델에 비해 크게 변화하였다.

Table 6의 강도 및 성능 지표를 살펴본다. 정확한 강도 성능 계산을 위해 기어 해석 소프트웨어 MASTA를 사용하였으며, 안전율을 살펴보면 설계요구조건에 정의된 최소 접촉 안전율인 1.2에 근접하게 설계된 것을 알 수 있다. 이는 설계 과정에서 최소안전율을 변수로 도입하여 기어의 모듈 및 치폭비를 계산했기 때문이다.

Table 6. Strength and performance of optimal model considering volume

안전율이 1.2와 차이가 발생하는 것은 자체프로그램과 MASTA프로그램의 Application factor 및 Influence factor 값에 차이가 존재하기 때문이다.

결론적으로, 설계요구조건을 만족시키면서 기존모델보다 부피가 감소한 최적 모델을 설계하였다.

5. 결론

본 연구는 일반적인 산업용 감속기와는 다른 전기자동차용 2속 변속기의 특징을 고려한 설계 방법을 고안하고, 이를 통해 부피를 최소할 수 있는 최적 설계 프로그램을 개발하였다.

안전율 및 작동조건을 고려하여 기어의 모듈과 치폭비를 계산할 수 있는 프로그램을 개발하였다. 이를 통해 초기 단계에서 적합 한 기어의 제원을 정확하게 계산할 수 있음을 기어 해석 소프트웨어 MASTA를 통해 검증하였다.

매크로 치형 관계식을 통해 복잡한 구속조건을 수식화하고, 직접탐색법을 통해 주어진 설계요구조건 및 구속조건을 만족하면서 부피가 최소화된 모델을 설계할 수 있었다.

개발된 프로그램은 다수의 작동조건과 구속조건을 가지는 자동차용 변속기 및 특수 감속기에 적용될 수 있으며, 동력 밀도 향상을 통해 제품 효율을 개선할 수 있을 것으로 기대된다.

Acknowledgements

본 연구는 부산대학교 기본연구지원사업(2년)의 연구 지원에 의한 연구임.